李佳威
2026年6月10日
在地震学中，有一条几乎人人都绕不开的经验定律，即古登堡-里克特（Gutenberg-Richter）定律，简称GR定律。它说的是，在一个地区、一个时间段内，地震的数量会随着震级增加而迅速减少。通俗地说，小地震很多，大地震很少；震级越高，发生次数越少。如果把“震级”和“超过该震级的地震数目”画在半对数坐标上，理想情况下会得到一条近似直线。
这条线看似简单，却是地震危险性分析、地震活动性研究和地震预测模型中的基础之一。许多重要参数，比如常说的b值，都来自这条线。b值越大，通常表示小震相对于大震更多；b值越小，则意味着较大地震所占比例相对更高。
但是，这条看似漂亮的直线有一个现实问题：我们看到的地震目录，并不等于真实发生过的全部地震。
一、地震目录并非“全知全能”
地震仪器很灵敏，但并不是无限灵敏。一个很小的地震，如果发生在台站稀疏、噪声很高、地下结构复杂，或者大震之后余震密集、处理系统拥挤的情况下，就可能没有被记录下来。这就带来了一个关键概念：最小完整性震级（或最小完备震级），通常记作Mc。
传统上，地震学家常常假设：当震级大于Mc时，地震目录是完整的；当震级小于Mc时，目录是不完整的。换句话说，Mc像一道门槛：
门槛以上：地震都被记录到了；
门槛以下：地震可能漏记了。
这个假设简单、清楚，也很方便计算。但是，它真的符合现实吗？
二、真实世界里，探测能力更像“渐变”，不是“开关”
如果把地震台网想象成一张捕鱼网，传统Mc假设相当于认为：大于某个尺寸的鱼一定能捕到，小于某个尺寸的鱼就可能捕不到了。
但现实中的情况更像这样：
很小的地震，几乎很难被记录；
稍大一点的地震，有时能记录，有时会漏掉；
再大一些的地震，绝大多数能记录，但仍不能绝对保证百分之百不漏；
足够大的地震，才接近必然被记录。
这不是一个“0或1”的问题，而是一个概率问题。
因此，第一个核心观点是：目录完整性不应该只被看作一个硬阈值，而应该被看作一个随震级逐渐变化的探测概率。这就是我们提出的新一代增强型GR模型的出发点。
三、新GR模型：把“漏记概率”写进GR定律本身
传统GR定律主要关注完整部分（需要注意，这个“完整”并不一定）的地震目录。也就是说，先选定一个Mc，然后只用Mc以上的地震来拟合直线。Mc以下的数据通常被丢掉，或者只作为“不完整部分”单独处理。
我们的增强型GR模型改变了这个思路。它不是先把地震分成“可用”和“不可用”两部分，而是把目录完整性直接写进GR定律中。也就是说，
我们不再简单地问：从哪个震级开始目录是完整的？
而是进一步问：在每一个震级上，地震被记录下来的可能性有多大？
这个模型在经典GR定律的a值和b值之外，引入了两个与完整性有关的参数：
Mc：表示从不完整到完整过渡的转换位置；
σc：表示这个过渡过程有多宽，也就是探测能力从弱到强变化得有多平缓。
如果σc很小，说明探测能力变化很突然，传统“硬阈值”近似还可以接受。如果σc较大，说明从漏记到完整记录是一个较宽的渐变过程，传统Mc方法就可能过于粗糙。
在进一步扩展中，我们还引入了一个非对称参数。它描述的是：小震漏记的衰减过程，和较大震级逐渐恢复到标准GR直线的过程，是否具有相同速度。现实中，这两边往往并不对称。小震可能迅速被漏掉，但较大震级的记录能力可能是缓慢接近完全可靠的。甚至这两端的衰减形式本身都是被不一样的过程（体现在函数形式上）控制。这正是我们提出的新一代增强型GR模型想要表达的内容。
在我们的模型中，传统“硬阈值Mc”其实很像一个ReLU（Rectified Linear Unit）函数：
阈值以下被压平，阈值以上恢复线性GR行为。但真实地震目录并不会在某个震级处突然从“不完整”跳到“完整”。因此，我们使用了平滑ReLU（gReLU）函数来描述这个过渡过程。
我们测试了几种不同形式：
GRSS：基于Softplus函数，表示一种平滑过渡；
GRBS：受到Black-Scholes期权定价公式启发，表示一种类似高斯型的平滑过渡；
GRCO：带有截断特征的平滑过渡；
GRAE：允许非对称过渡的模型，也是我们重点推荐的模型。
这些模型看起来有些数学化，但它们的核心思想并不复杂：不要再把完整性震级看成一把刀，而要把它看成一段坡。
从“硬阈值”到“平滑过渡”的新GR模型。
(a) 不同的gReLU函数展示了几种可能的“过渡方式”。传统ReLU函数相当于一刀切：低于完整性震级的数据被视为不可靠，高于该震级的数据才用于经典GR定律。新的平滑函数则更接近真实观测：地震被记录到的可能性会随着震级增大而逐渐提高。
(b) 这些函数对应的互补累积震级-频次分布。相比传统方法，新模型不再简单丢弃低震级数据，而是用概率方式描述它们可能被漏记的程度，从而更自然地连接地震目录完整性与GR定律。
GRAE模型对实际地震目录的拟合示意。
以美国俄克拉何马州中北部的诱发地震为例，粉色实线表示GRAE模型拟合得到的震级-频次分布，红色虚线表示大震级部分、以GRAE极限形式存在的经典GR定律。相比简单的直线模型，GRAE能更好地刻画小震级端因漏记造成的弯曲特征。
五、GRAE为什么表现最好？
我们在两个研究框架中检验了这些模型。
第一个研究（Wang et al., 2025, JGR）比较了九种基于地震目录的完整性震级估计方法，包括传统方法和新提出的方法。测试数据既包括模拟目录，也包括中国、加州和新西兰等地区的实际地震目录。结果显示，在数据足够密集、分辨率足够好的情况下，MBS-WW、GRBS和GRAE都能给出相对可靠的Mc估计，其中GRAE在复杂情形下表现尤其稳定。
第二个研究（Li et al., 2026, SRL）进一步把新GR模型系统化，比较了GRSS、GRBS、GRCO和GRAE四种增强型GR模型。我们不仅测试模型在“数据由自己生成”的理想情形下是否表现良好，也测试了更接近现实的“模型错设”情形：也就是说，真实世界的生成机制未知，拟合模型并不一定等于真实模型。
结果表明，GRAE在多种合成测试和实际地震目录中都表现出更强的稳健性。它不仅能拟合震级-频次分布，还能更稳定地估计b值，并给出关于目录完整性的概率描述。
这很重要，因为b值是地震统计研究中极其关键的参数。如果目录漏记被忽略，b值就可能被系统性扭曲。一个看似“异常”的b值变化，可能并不代表地下物理过程真的发生了变化，而只是由于小地震记录不完整。
新GR模型让我们可以更可靠地理解地震数据本身。这至少有三点影响：
第一，它减少了因目录不完整造成的偏差。很多地震学分析都依赖地震目录。如果小地震漏记严重，而我们又把这些漏记当成真实地震活动性的变化，就可能得出错误结论。
第二，它让小震数据重新变得有价值。传统方法常常直接丢掉Mc以下的数据。新模型则可以给这些小震一个概率权重：它们不是完全可信，也不是完全无用，而是可以被纳入一个统一的统计框架。
第三，它为地震危险性分析和预测模型提供了更合理的数据基础。地震危险性评估、余震预测、ETAS模型校准、区域地震活动性比较，都依赖对震级-频次分布和b值的准确估计。如果输入数据本身有偏差，后续模型再复杂也可能建立在不稳固的地基上。
b值估计为什么会受“选取多大震级以上的数据”影响。
图中比较了六个地区中三种方法（GRAE、最大似然法和b-more-positive）得到的b值结果。横轴表示用于筛选地震目录的截断震级Mco；纵轴表示估计出的b值。GRAE模型试图把地震目录的不完整性直接纳入模型中，从而减少因小震漏记和截断震级选择带来的偏差。
结语、一个更现实的地震观测图像：从“一条直线”到“一条带有探测概率的曲线”
过去，我们常常把地震目录理解为一张清单：记录了就是发生了，没记录完就无法使用。但新GR模型提醒我们，地震目录更像一张带有“观测概率”的地图。每一个震级、每一个地区、每一个时间段，探测能力都可能不同。目录完整性不是一个固定常数，而是一个随观测条件变化的统计对象。
这也意味着，对地震活动性的理解不能只看地震本身，还要看我们如何观测地震。
在地震学中，观测系统和自然过程往往交织在一起。一个震级-频次分布在小震级段的弯曲，可能来自地下断层的物理机制，但目前更可能来自地震台网的探测盲区。区分这两者，是地震统计研究中非常重要的一步。
GR定律已经提出了几十年。它简单、优雅，也极其有用。但随着地震台网、人工智能检测技术和高分辨率地震目录的发展，我们也需要更精细的模型来理解数据。
增强型GR模型并不是推翻经典GR定律，而是在保留其核心结构的基础上，把现实中的目录不完整性纳入其中。
它告诉我们：
小地震不是简单地“没有”；
Mc不是一道绝对的墙；
目录完整性不是开关，而是非对称分布的概率；
b值等地震活动性参数的估计，必须和观测能力一起理解。
这就是新GR模型的核心意义，用一个更接近现实的统计框架，重新连接地震发生规律与地震观测能力。在这个框架下，我们不只是拟合一条线，而是在回答一个更基本的问题：我们看到的地震活动规律，究竟有多少来自地球本身，又有多少来自我们的观测方式？
与本文相关的参考文献
[1] Li, J., Wang, X., Sornette, D. (2026). Unifying the Gutenberg-Richter law with probabilistic catalog completeness. Seismological Research Letters, (in press), https://doi.org/10.1785/0220250289.
[2] Wang, X., Li, J., Feng, A., Sornette, D. (2025). Estimating magnitude completeness in earthquake catalogs: A comparative study of catalog-based methods. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 130(9), e2025JB031441.
[3] Li, J., Mignan, A., Sornette, D., Feng, Y. (2023). Predicting the future performance of the planned seismic network in Chinese Mainland. Seismological Research Letters, 94(6), 2698-2711.
[4] Feng, Y., Mignan, A., Sornette, D., Li, J. (2022). Hierarchical Bayesian modeling for improved high-resolution mapping of the completeness magnitude of earthquake catalogs. Seismological Research Letters, 93(4), 2126-2137.